Uno de los resultados más importantes del Cálculo Diferencial e Integral es el Teorema Fundamental del Cálculo. En términos generales, este teorema asocia dos procesos: la integración de funciones derivada y la diferenciación de integrales de funciones. Lo cual corresponde en términos analíticos a las fórmulas:

La primera fórmula nos permite obtener una simple evaluación de la integral definida, si conocemos una antiderivada de la función f. La segunda fórmula nos dice que la integral definida de f de a a x es una función de x cuya derivada es f.

Para utilizar la fórmula i), prácticamente, es suficiente hallar una función derivable  tal que  para todo x. Desafortunadamente, en cursos básicos de Cálculo puede crear una cierta confusión al respecto de la definición de integral debido a que muchos estudiantes suelen considerar que:

La integral definida  se define por la diferencia

Esta idea no solamente es equivocada, sino también inútil. Una razón es que una función  puede ser integrable sin ser la derivada de otra función, es decir, puede no existir su antiderivada. Por ejemplo, si f está definida por

entonces  es integrable, pero   no puede ser una derivada de alguna otra función, es decir,  no tiene antiderivada. En este caso, no tiene sentido tratar de encontrar o calcular una antiderivada de  para aplicar la fórmula provista por el Teorema Fundamental del Cálculo.

En el presente artículo hacemos una discusión acerca de algunas condiciones que debe cumplir una función real para que sea una función derivada o en otras palabras, para que tenga antiderivada.

Funciones derivada y sus discontinuidades  

Sea  una función integrable en un intervalo [a, b]. La pregunta que nos planteamos es: ¿Cómo podemos saber si  es una función derivada?

En general, es extremadamente complicado decidir cuándo una función dada  es la derivada de alguna otra función (Spivak, pp. 402-403). Sin embargo, es posible revelar ciertas propiedades que debe poseer . Por ejemplo, sabemos que:

Afirmación 1. Si  es continua en [a, b], entonces  es una derivada.

Efectivamente,  es la derivada de alguna función, a saber, . Esto lo asegura el TFC. Una manera de buscar información para deducir si una función  es una derivada es estudiando el recíproco de la Afirmación 1.

Afirmación 2. Si  es una derivada, entonces  es continua.

Podemos dar ejemplos para los cuales no se cumple la afirmación anterior. Es decir, existen funciones  tales que, son la derivada de alguna otra función , pero resulta que  no es continua. Un ejemplo clásico de este hecho es el siguiente:

Ejemplo 1. Sea  la función definida por

En este caso,  es una función discontinua en x=0 y además es una función derivada; es decir, existe una función  tal que  para todo x en , la función  definida como

cumple con las condiciones.

La función del ejemplo anterior tiene la propiedad del valor intermedio, también llamada propiedad de Darboux en honor al matemático francés Jean Gaston Darboux (1842-1917). Darboux realizó diferentes contribuciones al análisis matemático, en 1875, demostró que las funciones derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad del valor intermedio.

Teorema 1. (Propiedad de Darboux). Sea  una función derivable en un intervalo abierto  y sean a y b dos puntos cualesquiera de , con a < b. Si  es un real entre los valores  y , entonces existe c en (a, b) tal que  (Ghorpade, 2006, p. 118).

El teorema anterior, es un resultado útil para discutir el tipo de discontinuidades que puede tener una derivada. Sin embargo, pasa inadvertido en los libros de texto e incluso en el salón de clases a nivel universitario. En lo particular, es útil para determinar si una función   tiene antiderivada (o es una función derivada). Ilustremos con algunos ejemplos lo anterior.

Ejemplo 2. Sea  la función definida por

En este caso, no existe una función  tal que , debido a que  no tiene la propiedad de Darboux. Por ejemplo,  no toma el valor de 1/2 entre  y . Por lo tanto  no tiene antiderivada.

Observación 1. Es posible que el lector interponga una objeción al ejemplo anterior ya que un posible candidato de una función  que cumple con las características necesarias (aparentemente) es la función valor absoluto , la cual está definida en todo R. Sin embargo, la derivada de  es

la cual está definida en todo R excepto x=0 y claramente . Considerar los dominios de las funciones es un detallo sutil que suele pasar desapercibido pero en realidad marca la diferencia.

Notemos que, en el ejemplo 2,  tiene una discontinuidad de salto en x=0. Este fenómeno sucede en general, es decir, funciones con discontinuidades de salto no pueden ser funciones derivada.

Afirmación 3. Sea  una función diferenciable en . Sea . Si  es discontinua en , entonces  no es una discontinuidad de salto.    

Supongamos que  es una discontinuidad de salto. Entonces los límites

 y

existen y además .

Sin pérdida de generalidad, asumimos que . Ahora hagamos

Notemos que . Entonces existe un  tal que para  cumple que , tenemos

y existe un  tal que si  y , tenemos

Sea . Elijamos  tales que  

y sea  tal que

Por la Propiedad de Darboux, existe  tal que  . Dado que  y , deducimos la desigualdad   o . En el primer caso tenemos   y de esta manera

En el segundo caso tenemos que    y así que

Pero estas dos últimas desigualdades contradicen las desigualdades (1) y (2). Por lo tanto,  no es una discontinuidad de salto.    

Ejemplo 2. Sea  la función definida por

De nuevo, no existe una función  tal que , debido a que  no tiene la propiedad de Darboux. En otras palabras,  f  no tiene antiderivada. En este caso,  tiene una discontinuidad removible.

Afirmación 4. Sea  una función diferenciable en . Sea . Si  es discontinua en , entonces  no es una discontinuidad removible.  

Para demostrar la afirmación, supongamos que  es una discontinuidad removible. Entonces existe L, un número real tal que

Sin pérdida de generalidad, sea . Si definamos 

Entonces tenemos que existe un  tal que

 para  talque

Notemos que . Sea   y elijamos . Entonces  es diferenciable en  y dado que , . Así que, por la Propiedad de Darboux, existe  tal que .  Pero  y dado que , se sigue que , lo cual es una contradicción. Por lo tanto,  no es una discontinuidad removible.  

Ejemplo 3. Sea  la función definida por

De la misma manera,  no cumple con la propiedad de Darboux. Lo cual significa que no existe una función  tal que . Observemos que  es discontinua en . En efecto,   y 

La pregunta que aquí surge es: ¿cómo podemos clasificar este tipo de discontinuidad?

Ejemplo 4. Sea  la función definida por

 f  no cumple con la propiedad de Darboux y además es discontinua en . En efecto,

  y 

De nuevo, ¿cómo podemos clasificar este tipo de discontinuidad?

Afirmación 4. Sea  una función diferenciable en . Sea . Si  es discontinua en , entonces los límites   y   existen y además

  y  .

Para demostrar la afirmación anterior, consideremos como primer caso que  y además . Supongamos lo contrario, es decir, .  Sea  un número real tal que . Entonces existe un  tal que para cada  para la cual se cumple que , tenemos . Elijamos .  Entonces  es diferenciable en  y . Usemos ahora la Propiedad de Darboux. Sea  un número real tal que . Entonces para cada , tenemos que , lo cual es una contradicción.  Por tanto, se debe cumplir que

.

Los casos  y , se pueden demostrar de manera similar.

En suma, si  es diferenciable en  y si  es discontinua en , para , entonces

1.  no es una discontinuidad de salto o,  
2.  no es una discontinuidad removible o,
3.   y  .

La propiedad de Darboux permite caracterizar el tipo de discontinuidades que debe tener en punto una función derivada. Ésta propiedad sirve también para construir más funciones que no pueden tener antiderivadas.

Ejemplo 5. Discontinuidad removible. Sea  definida por

Ejemplo 6. Discontinuidad de salto. Sea  la función definida por

Ejemplo 7. No se cumple que   y  . Sea  definida por

De esta manera, si tenemos una función derivada , discontinua en , para , la propiedad de Darboux nos indica que ésta continuidad debe ser, por así decirlo, ‘muy compleja’. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 8. Sea  definida por

La función  tiene antiderivada en  ya que Los límites   y     no existen. Una antiderivada de  es la función

.

En efecto,  es diferenciable en  y además  para cada . En particular,   debido que

.

CONCLUSIÓN

Una discusión más profunda acerca de las funciones derivada, y de lo complejo que puede ser el comportamiento de sus discontinuidades, se puede consultar en Bruckner (1978).

En conclusión, en cursos básicos de Cálculo, debemos tener cuidado al pedir a los estudiantes que utilicen la fórmula

porque puede suceder que la función no tenga antiderivada.

Referencias bibliográficas

- Bruckner, A. M. (1978). Differentiation of Real Functions, Lecture Notes in Mathematics Berlin: Springer-Verlag.

- Ghorpade, S. R. y Limaye, B. V. (2006).  A Course in Calculus and Real Analysis. Springer Science+Business Media. New York, 2006.

- Spivak, M. (1996). Cálculo infinitesimal. 2d. Ed. México. Editorial Reverté.