Un problema clásico de optimización es el famoso problema de la caja construida a partir de una lámina rectángular o cuadrada. Una de sus tantas versiones es la siguiente:

Se necesitan construir cajas de cartón sin tapa de diferentes capacidades. Para su construcción se utilizan láminas que tienen la forma de un cuadrado de lado 10 cm.

Si de cada esquina se le cortan cuadrados de x cm de lado:

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?

b) Obtener una función V(x) que relacione  a la caja con su volumen.

c) Obtener el dominio de V(x).

d) Realizar un bosquejo de su gráfica.

e) ¿Para qué valor de la variable x se obtiene un volumen máximo (o mínimo en su caso)?

No es difícil observar que las dimensiones de la caja son Largo: 10-2x, Ancho: 10-2x y Alto: x.

De esta manera, la función que relaciona a la caja con su volumen es

V(x)= x(10-2x)(10-2x).

V(x) no está definida para x= 0 ni x=5 porque no tiene sentido para estos casos. De hecho, el dominio de V(x) es el intervalo abierto (0,5).

El siguiente applet, realizado con Geogebra, permite dar una idea intuitiva de la relación entre el volumen de la caja y la variable x, cuando esta última varía.

(Para borrar la curva, actualiza la página)

Con la ayuda del applet, se puede observar que se obtiene un volumen máximo (aprox.) de 74.05 centímetros cúbicos cuando x se aproxima al valor de 1.7.

La solución general se obtiene calculando la derivada de la función V(x). Esto es

V'(x)=12x²-80x+100.

Esta función se iguala a cero para encontrar los puntos críticos. Es decir

V'(x)=12x²-80x+100=0.

Los valores donde la derivada V'(x) se hace cero son x₁=5 y x₂=5/3. El valor de x₁=5 se descarta, por como está definido el dominio de V(x).

Para verificar que  es un máximo, se calcula la segunda derivada de V(x). Esto es

V''(x)=24x-80

Ahora, se sustituye el valor de x₂=5/3 en V''(x). De lo cual se obtiene que

V''(5/3)=24(5/3)-80 =-40

Este último valor es negativo. Por lo tanto, cuando x es iguala a 5/3 (ó 1.666... aprox.) el volumen de la caja alcanza un valor máximo. Al sustituir 5/3 en V(x), obtenemos 74.07 (aprox).