Proposición 11, Libro I:

Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta dada, desde un punto dado en ella.

Antes de proceder con la demostración de Euclides, mencionaré algunos de los resultados previos que él utiliza:

Definición 10: Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.

Proposición 1, Libro I: Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Proposición 3, Libro I: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.

Proposición 8, Libro I: Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.

Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostración.

Demostración de la Proposición 11, Libro I:

Sea AB la recta dada y sea C un punto cualquiera en AB. Así pues, hay que trazar una línea recta que forme ángulos rectos con la recta AB desde C.

Figura 1.

Tómese un punto D al azar entre AC y hagamos CE igual a CD [Proposición 3, Libro I].

Figura 2.

Sobre DE, construir un triángulo equilátero DFE [Proposición 1, Libro I] y finalmente trácese CF.

Figura 3.

Euclides afirma que CF es perpendicular a AB. Y lo demuestra de la siguiente manera:

Consideremos los triángulos DCF y ECF. Por hipótesis, DC es igual a CE y además CF es un lado común. Por lo tanto, los ángulos DCF y ECF son iguales [Proposición 8, Libro I]; y además son adyacentes.

Figura 4.

Cuando la recta CF se levanta sobre otra recta (AB) y hace los ángulos adyacentes iguales entre sí, entonces cada uno de los ángulos es recto [Definición 10]. Por lo tanto, cada uno de los ángulos DCF y ECF es recto.

Por consiguiente, ha sido trazada la línea CF que forma ángulos rectos con la recta dada AB, desde el punto C en ella.

Comentarios

La demostración de Euclides es suficiente para sus propósitos. Es posible extender el resultado de tal manera que el punto C esté en cualquier parte de la recta AB (aunque para ser más precisos, ésta recta es un segmento) y el punto D no necesariamente esté entre A y C.

La idea es realizar una extensión del segmento AB para que se considere una recta cualquiera que pase por los puntos A y B. Sobre esta recta se puede construir un triángulo equilátero cualquiera, cuyos vértices están definidos sobre la recta definida por los puntos A y B (ver Figura 5).

Figura 5. Diferentes posiciones del punto C sobre entre A y B.

Referencias

- Euclides. (1991). Los Elementos. Libros I-IV. Madrid: Gredos. (Col. Biblioteca Clásica Gredos #155). Traducción del griego al español de Ma. Luisa Puertas Castaños.

- Euclides. (1994). Los Elementos. Libros V-IX. Madrid: Gredos. (Col. Biblioteca Clásica Gredos #191). Traducción del griego al español de Ma. Luisa Puertas Castaños.

- Euclides. (1996). Los Elementos. Libros X-XIII. Madrid: Gredos. (Col. Biblioteca Clásica Gredos #228). Traducción del griego al español de Ma. Luisa Puertas Castaños.