Solving a problem means finding a way out of a difficulty, a way around an obstacle, attaining an aim which was not immediately attainable. Solving problems is the specific achievement of intelligence, and intelligence is the specific gift of mankind: solving problems can be regarded as the most characteristically human activity. George Polya, Mathematical Discovery, 1965.

La resolución de problemas en matemáticas

El estudio e incorporación de los problemas matemáticos y las acciones típicas del pensamiento que intervienen en el proceso de solución de estos, así como la puesta en claro de cómo realizar acciones que contribuyan a la resolución de los problemas, se debe a George Polya. Debido al acostumbrado fracaso de sus estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas, Polya diseñó un método que pudiera servirles para aprender a resolver problemas, y publicó su libro ¿How to solve it?(Polya, 1945), marcando así un nuevo rumbo en el estudio de problemas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Es hasta la década de 1970 cuando se reconoce plenamente el trabajo de Polya y surgen estudios, artículos y libros que buscan dar explicaciones a sus planteamientos desde diferentes ángulos. Algunos de ellos son: NCTM (1980, 2000), Schoenfeld (1985), Santos (2007), Lesh et al. (2000), Lester y Kehle (2003),

A mediados de la década de los 80 se presentó un cambio en las teorías del aprendizaje, producido por el desarrollo de las ciencias cognitivas. El cambio consistió en cuestionar las ideas que sugerían que el aprendizaje es independiente de los detalles de la disciplina, y aceptar que aprender matemáticas implica asimilar conceptos, métodos, y principios que poseen diferencias con los estudiados en otras áreas del conocimiento (Santos, 1997, p.13).

Desde la perspectiva de resolución de problemas, se espera que el estudiante recolecte información, descubra o cree relaciones, discuta sus ideas, plantee conjeturas; evalúe, contraste e interprete las posibles respuestas y desarrolle sus propios problemas. Lo anterior presupone una visión particular de lo que significa aprender matemáticas, que va más allá del aprendizaje y aplicación de reglas y algoritmos, y que incluye encontrar sentido a las ideas y relaciones matemáticas.

Reconocer que resolver problemas es una actividad esencial en el aprendizaje de las matemáticas implica discutir diversas ideas alrededor de esta actividad; por ejemplo, ¿qué es un problema? ¿qué es la resolución de problemas? ¿qué significa aprender matemáticas?, etcétera (Santos, 1997, p.4).

Identificar la resolución de problemas como una propuesta de aprendizaje de las matemáticas requiere de adoptar una posición en torno a la naturaleza de las matemáticas. En esta propuesta, las matemáticas son una disciplina cambiante al igual que las demás ciencias, donde el trabajo matemático es guiado por la intuición en la exploración de conceptos y sus interacciones. Asimismo, se considera que los estudiantes aprenden matemáticas al participar activamente en el desarrollo de las ideas matemáticas, al encontrarse inmersos en un ambiente similar al de los profesionales que hacen matemáticas; es decir, se acepta que los estudiantes pueden crear o desarrollar sus propios conocimientos matemáticos.

En el marco de la resolución de problemas, las matemáticas son un tipo de conocimiento dinámico que cambia, se expande y reajusta de acuerdo con las necesidades o inventiva humanas, tanto en resultados particulares como en métodos y principios generales. Por su parte, el estudiante en el aprendizaje de esta disciplina elabora y discute las estrategias de solución propias y de sus compañeros, emplea ejemplos y contraejemplos, critica, evalúa y argumenta los resultados obtenidos, inmerso en una comunidad matemática.

Polya (1945/1978) considera que el aspecto formal de las matemáticas tiene poca relación con la actividad de resolver problemas y con el descubrimiento matemático. Este autor discute el potencial de los métodos heurísticos, estrategias de carácter general para atacar un problema; las cuales, aunque no garantizan alguna solución ayudan a resolver el problema. También sugiere heurísticas enmarcadas dentro de su propia experiencia como matemático al resolver problemas; las cuales, considera, pueden ser modeladas por los maestros en el salón de clases y, una vez internalizadas (en el sentido de Vygotsky) por los alumnos pueden usarlas sin ayuda externa.

Asimismo, identifica cuatro etapas en el proceso de resolver problemas:

1. Entendimiento del problema.

2. Diseño de un plan.

3. Ejecución del plan.

4. Evaluación de la o las soluciones (visión retrospectiva).

En diversos estudios donde se observó a expertos, en diferentes dominios, para identificar los componentes cognitivos esenciales que influían en la resolución de problemas, se definió un perfil general de las características relevantes que les permitían resolver un problema. Estas características son:

1. Un conocimiento base, amplio, de patrones del campo donde se es experto.

2. Reconocimiento rápido de situaciones donde se aplican esos patrones.

3. Un razonamiento que va del reconocimiento directo a la solución a través del trabajo con los patrones (Santos, 1997, p.18).

Por el contrario, los novatos tienden a no ver los patrones relevantes. Estos resultados señalan la importancia de los aspectos particulares de una disciplina que influyen en la resolución de problemas.

Por otra parte, las estrategias o heurísticas generales también son importantes en la resolución de problemas. Un ejemplo de estrategia general de gran utilidad en matemáticas es la búsqueda de contraejemplos, los cuales ayudan a generar especulaciones discusiones y críticas de diversos argumentos. Un ejemplo bastante ilustrativo del empleo de contraejemplos en el desarrollo de ideas matemáticas puede observarse en al trabajo “Pruebas y Refutaciones” de Lakatos (1976/1982).

¿Qué es un problema?

De acuerdo con Santos (1997, p.27) el término problema es relativo al individuo, más específicamente, es relativo al esfuerzo que emplea el individuo cuando intenta resolver una tarea. Es decir, una tarea puede considerarse un problema cuando ésta es difícil para el individuo que está tratando de resolverla. La dificultad de la misma va más allá del nivel operacional o de cálculo, se trata de una dificultad que representa un esfuerzo intelectual.

Así, una tarea es un problema para un individuo cuando:

1. Existe dificultad para resolverla.

2. El sujeto tiene interés y deseos de abordarla.

3. No existe un camino inmediato (algoritmo) para encontrar alguna solución.

4. Pueden existir diversos caminos o métodos de solución; incluida la posibilidad de que la tarea tenga más de una solución.

Diversas acepciones del término resolución de problemas

Stanic y Kilpatrick (1988, citado en Schoenfeld, 1992, p. 337) identifican tres diferentes significados del término resolución de problemas. El primer significado se refiere al uso tradicional; lo que ellos llaman resolución de problemas como contexto; aquí los problemas son empleados como medios al servicio de otros objetivos curriculares y la resolución de problemas no se concibe como un objetivo en sí misma.

La segunda acepción es la resolución de problemas como habilidad y se refiere a la capacidad de obtener soluciones para los problemas asignados; esta es la interpretación que se empleó durante la mayor parte de los años 80. En este contexto, resolver problemas no rutinarios se caracteriza como una habilidad de mayor nivel, que se adquiere después de haber desarrollado la habilidad de resolver problemas rutinarios. Las heurísticas y en forma más general, las técnicas para resolver problemas se ven como temas que deben ser enseñados a los estudiantes, para que estos las incluyan dentro de su repertorio de “herramientas matemáticas”.

El tercer significado, el cual se empleará en este trabajo, es la resolución de problemas como un arte. Esta visión sostiene que la verdadera resolución de problemas consiste en trabajar con problemas que causan conflicto, y que este es el objetivo central de las matemáticas.

Desde esta perspectiva, las matemáticas son “la ciencia de los patrones” (Devlin, 1994). El descubrimiento de estos patrones puede ayudarnos a entender el mundo a nuestro entorno. Asimismo, el proceso de “hacer matemáticas” es más que el cálculo y la deducción; porque involucra observación de patrones, prueba de conjeturas y estimación de resultados, entre otros.

Lo anterior implica que el trabajo en el salón de clases debe desarrollarse en forma similar al trabajo de los matemáticos cuando hacen matemáticas. En este proceso de hacer matemáticas, la intuición actúa como guía en la exploración de conceptos y sus interacciones. Por tanto, el instructor debe fomentar el uso de ejemplos y contraejemplos; cuestionar el o los métodos de solución; motivar a los estudiantes a plantear hipótesis, probarlas, ajustarlas, rechazarlas y centrar la atención en los procesos más que en los contenidos.

Factores que inciden en el proceso de resolución de problemas

Alan Schoenfeld, en su libro Problem Solving (1985) profundiza y complementa el trabajo de Polya. Incorpora y justifica la dimensión cognitiva en el proceso de resolución de problemas. Utiliza el término metacognitivopara denominar a los procesos de reflexión que están asociados a las acciones mentales de monitoreo y control que actúan implícita y continuamente mientras se resuelven problemas; es una habilidad que se desarrolla paulatinamente y ayuda a identificar obstáculos y/o contradicciones que se cometen en el camino de solución. Para Schoenfeld, las indicaciones que permiten avanzar en el método propuesto por Polya equivalen a hacer un inventario de lo que el estudiante sabe y de la forma en la que adquirió los conocimientos matemáticos.

Asimismo, Schoenfeld considera que para entender el proceso por el cual las personas resuelven problemas matemáticos e incidir en la enseñanza, es necesario considerar a las matemáticas, la dinámica del salón de clases y el aprendizaje junto con el proceso de pensar, es decir, se necesita incorporar el conocimiento de los matemáticos, profesores de matemáticas, educadores y especialistas de las ciencias cognitivas.

En términos generales, las cuatro dimensiones que inciden en el proceso de resolver problemas, de acuerdo con Schoenfeld (1985), son:

1. Los recursos o dominio del conocimiento.Es un inventario de lo que el individuo sabe y las formas en que adquiere ese conocimiento. El autor identifica cinco tipos de conocimiento que se encuentran en la categoría de los recursos: (a) conocimiento informal e intuitivo acerca de la disciplina matemática; (b) hechos y definiciones; (c) procedimientos algorítmicos; (d) Procesos rutinarios no algorítmicos y (e) conocimiento acerca del discurso del dominio.

2. Las heurísticas.Son estrategias y técnicas para avanzar en la resolución de un problema. Entre estas estrategias se encuentra el dibujar figuras, introducir notación, explorar problemas relacionados, reformular el problema, trabajar hacia atrás o probar y verificar procedimientos. Schoenfeld (1985) afirma que no es suficiente que el alumno conozca estas estrategias, sino también adquirir experiencia sobre el cómo y cuándo utilizarlas en contextos específicos.

3. Control o estrategias metacognitivas. Son las decisiones globales respecto a la selección e implementación de recursos y estrategias; se refiere a la forma en que los sujetos usan la información, los procedimientos y las técnicas matemáticas que tienen a su disposición. Las acciones que involucran control incluyen la planeación, el monitoreo y la evaluación, la toma de decisiones y los actos metacognitivos conscientes (visión retrospectiva). En resumen, el control o metacognición se refiere al conocimiento consciente de nuestros propios procesos cognitivos.

4. Sistema de creencias. Se refiere a la propia visión que se tiene de las matemáticas, que incluye el conjunto de variables que influyen en el comportamiento individual. Aquí se incluyen las creencias que los individuos tienen de las matemáticas, a lo que significa aprender matemáticas y al papel del profesor y del alumno en el salón de clases.

En el proyecto curricular del NCTM (2000) Principios y estándares para las matemáticas escolares, se asigna especial interés al estándar de “resolución de problemas”. Cuando los estudiantes aprenden a resolver problemas, desarrollan procesos de pensamiento ordenados que, poco a poco, se van convirtiendo en una habilidad para encontrar estrategias adecuadas para determinado tipo de problemas, lo cual permite el desarrollo de nuevas comprensiones matemáticas. Se debe animar e involucrar a los estudiantes en la resolución de problemas, se debe propiciar el espíritu de aferrarse a encontrar y formular una solución cuando intentan resolver un problema complejo. Para aprender a resolver problemas en matemáticas, los estudiantes deben adquirir formas de pensamiento, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza en sus acciones para explorar situaciones desconocidas. Esto contribuye a un dominio de situaciones similares y a la adquisición de la capacidad de exteriorizar ideas matemáticas.

La resolución de problemas no es una parte aislada de la educación matemática y de los programas de las materias, es una parte fundamental para todo aprendizaje matemático (NCTM, 2000).

Referencias

- Devlin, K. (1994). Mathematics: The science of patterns. New York: Scientific American Library.

- Lakatos, I. (1982). Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático(C. Solís Trad., 2a. Ed.). Madrid: Alianza Editorial. (Trabajo original publicado en 1976).

- Lesh, R. y A. Kelly (2000), “Multitiered Teaching Experiments”, en A. E. Kelly y R. Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education, Mahwah, Nueva Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 197-230.

- Lesh, R., M. Hoover, B. Hole, A. Kelly y T. Post (2000), “Principles for Developing Thought-Revealing Activities for Students and Teachers”, en Antony E. Kelly y Richard Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education, pp. Mahwah, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 591-645.

- Lester, F. y P. Kehle (2003), “From problem solving to modeling. The evolution of thinking about research on complex mathematical activity”, en R. Lesh (ed.), Beyond constructivism, models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching, Lawrence Erlbaum Associates.

- National Council of Teachers of Mathematics (1980), An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics for the 1980s, Reston, Virginia., National Council of Teachers of Mathematics.

- National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principios y Estándares de la Educación Matemática. Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES.

- Polya, G. (1973). How to solve it?2nd. ed. Princeton University Press. New Jersey (First published 1945).

- Santos, L. M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

- Santos, L. M. (2007). La resolución de problemas matemáticos (fundamentos cognitivos).México: Trillas.

- Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.

- Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. En D.A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334.- 370). New York: MacMillan Publishing Company.